Homomorfismus

Homomorfismus (v lineární algebře někdy také prostě morfismus) je zobrazení z jedné algebraické struktury do jiné stejného typu, které zachovává veškerou důležitou strukturu.

Každý typ algebraické struktury má svůj typ homomorfismu (mluvíme o grupovém homomorfismu, okruhovém apod.). Například zobrazení ${\displaystyle f(x)=x+2}$ je pologrupový homomorfismus, ale nikoli monoidový homorfismus, z monoidu ${\displaystyle [Z^{0+},\max ,0]}$ do monoidu ${\displaystyle [Z^{+},\max ,1]}$, tj. z celých nezáporných čísel do celých kladných čísel s operací ${\displaystyle \max }$, která vrátí větší z operandů ("vstupů"). Nezobrazí totiž neutrální prvek 0 na neutrální prvek druhého monoidu, kterým je číslo 1.

Obecně je homomorfismus zobrazení ${\displaystyle \phi :A\rightarrow B}$ mezi dvěma algebraickými strukturami stejného typu takové, že pro každou definovanou operaci ${\displaystyle f}$ a pro všechna ${\displaystyle x_{i}}$ v ${\displaystyle A}$ platí

${\displaystyle \phi (f_{A}(x_{1},\ldots ,x_{n}))=f_{B}(\phi (x_{1}),\ldots ,\phi (x_{n}))}$.

Například u pologrup A, B s operacemi ${\displaystyle \circ _{A},\circ _{B}}$ tento zápis znamená, že ${\displaystyle \phi (x_{1}\circ _{A}x_{2})=\phi (x_{1})\circ _{B}\phi (x_{2})}$. Tedy ${\displaystyle \phi (x)=x}$ není pologrupovým homomorfismem z pologrupy přirozených čísel se sčítáním ${\displaystyle [N,+]}$ do pologrupy racionálních čísel s násobením ${\displaystyle [Q,*]}$, protože existují čísla, pro která neplatí ${\displaystyle \phi (x+y)=\phi (x)*\phi (y)}$, tj. ${\displaystyle x+y=x*y}$. Ovšem je homomorfismem z ${\displaystyle [N,+]}$ do ${\displaystyle [Q,+]}$, tj. do pologrupy racionálních čísel s operací sčítání – což je zcela jiný objekt s odlišnými vlastnostmi.